crtaker’s blog

金融業界の片隅でひっそりと息をしています。

一定の外力の下での調和振動子の振舞い

物理

はじめに

　今個人的に考えている問題 *1 を極端に単純化したものが、調和振動子に外力を加えた系になっている。そこで、この系を古典力学と量子力学によって考察した記事を個人的なメモ書きとして残しておこうと思う。なお、本記事は筆者の個人的興味を書き連ねたものに過ぎないため読者ニーズはほとんどないであろうが、一応は古典力学と量子力学の基礎に精通した読者を想定している。

モデル

　1次元の調和振動子に対して、時間に依存する外力F(t)を加えたような系を考える。この系のLagrangianは式(1)で与えられる。

\displaystyle{ L(t)=\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega^2x^2+F(t)x \tag{1} }

ただし、xとmはそれぞれ質点の x座標における位置と質量であり、\omegaは系の固有角振動数である。なお、このような系は、例えば電荷qを持つ質点をバネ定数kのバネにつなぎ、時間に依存する電場E(t)を x軸の正の方向にかければ実現できる。実際、この物理系のLagrangianは式(2)で与えられる。

\displaystyle{ L=\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-\frac{1}{2}kx^2+qE(t)x \tag{2} }

ここで、\omega=\sqrt{k/m},F(t)=qE(t)とおけば式(2)は系(1)に帰着することが分かる。いずれにしても、以降の議論は具体的な物理系(2)に限らず、式(1)で定式化されるような一般的な系に対して適用可能である。ただし、以降では外力F(t)の時間依存性は以下の形に限定する。

\displaystyle{ F(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & (t\leq 0) \\ F_0 & (t> 0) \end{array}\right. \tag{3} }

つまり、時刻 t=0以前では外力は存在しないが、時刻 t=0以降では系に一定の外力 F_0が加わるということである。

古典力学

　最初に、系(1)を古典力学で扱おう。質点は時刻 t\leq 0において原点に静止しているものとする（当然、原点に静止している質点というのは(1)で与えられるLagrangianから導かれる運動方程式の解になっている）。そこで、時刻 t>0における質点の位置 x(t)を初期条件

\displaystyle{ x(0)=\frac{dx}{dt}(0)=0 \tag{4} }

の下で求めよう。計算自体は容易なので、以下に結果だけ記す。

\displaystyle{ x(t)=\frac{F_0}{m\omega^2}(1-\cos\omega t)\quad(t>0) \tag{5} }

このように、式(3)で与えられるような外力の影響下でも質点はやはり調和振動子であり、 x座標の非負の領域を周期的に運動する。特に、正の整数 nに対して質点は時刻 t=2\pi n/\omegaにおいて周期的に原点に戻ってくるということを覚えておこう。

量子力学

　次に、上で考えた古典的な調和振動子の問題をSchrödinger描像による量子力学の枠組みで考えてみたい。Lagrangian (1)から導かれる系のHamiltonianは式(6)で与えられる。

\displaystyle{ H(t)=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-F(t)x \tag{6} }

ただし、 pは xの共役運動量であり、 xとの正準交換関係

\displaystyle{ [x,p]=i\hbar \tag{7} }

を満たす。ここで考えたいのは、古典力学における解(5)の量子力学的対応物である。しかし、解(5)の初期条件(4)は、「質点が原点に静止している」状態、すなわち位置と運動量がともにゼロである状態であった。当然ながら、このように位置と運動量の両方が確定しているような状態は、不確定性原理により量子力学では存在しえない。ただ、古典解 x(t)=0(t\leq 0)は明らかに系のエネルギーを最小にする状態であった。したがって、量子力学において古典的な初期条件(4)に対応するのは、Hamiltonian (6)の基底状態であるといえる。つまり、Hamiltonian H(0)の基底状態であった系の t>0における時間発展を考えることが古典解(5)の量子力学的対応物であるといえるだろう。そこで、以下ではHamiltonian H_0\equiv H(0)の固有状態と、任意の t>0におけるHamiltonian H_1\equiv H(t)の固有状態を考えることにする。

外力のない系の固有値と固有状態

　最初に時刻 t\leq 0における系の量子化を考えよう、まず、生成演算子 a^{\dagger}と消滅演算子 aを

\displaystyle{ a^{\dagger}\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x-\frac{i}{\sqrt{m\hbar\omega}}p\right), \quad a\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x+\frac{i}{\sqrt{m\hbar\omega}}p\right) }

で定義する。正準交換関係(7)より、この生成消滅演算子は交換関係

\displaystyle{ [a,a^{\dagger}]=1 }

を満たすことがわかる。このとき、Hamiltonian H_0は

\displaystyle{ H_0=\hbar\omega\left(a^{\dagger}a+\frac{1}{2}\right) }

で与えられる。この H_0の固有状態は非負の整数 nを用いてラベリングすることができ、それをブラケット記法を用いて |n\rangle_0と表記する。系の基底状態は |0\rangle_0であり、これは条件 a|0\rangle_0=0を満たす。また、励起状態 |n\rangle_0\,(n=1,2,\ldots)は基底状態を用いて

\displaystyle{ |n\rangle_0=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{\dagger})^n|0\rangle_0,\quad(n=1,2,\ldots) }

と表される。基底状態が規格化条件 _0\langle 0|0\rangle_0=1を満たすとすると、励起状態も含めた全ての固有状態は規格化条件 _0\langle m|n\rangle_0=\delta_{mn}を満たす。固有状態 |n\rangle_0に対応する固有値は E^{0}_n=\hbar\omega(n+1/2)である。つまり、 |n\rangle_0は

\displaystyle{ H_0|n\rangle_0=E^0_n|n\rangle_0,\quad(n=0,1,2,\ldots) }

を満たす。なお、固有状態は次のような再帰的関係式を満たす。

\displaystyle{ \begin{aligned} a^{\dagger}|n\rangle_0 &= \sqrt{n+1}|n+1\rangle_0 \\ a|n\rangle_0 &= \sqrt{n}|n-1\rangle_0 \end{aligned} \tag{8} }

外力のある系の固有値と固有状態

　次に、 H_1の固有状態を考えたい。そのためには、 H_1が xについて平方完成できることに注意しよう。

\displaystyle{ H_1=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}m\omega^2\left(x-\frac{F_0}{m\omega^2}\right)^2-\frac{F_0^2}{2m\omega^{2}} }

そこで、新たに生成消滅演算子 b^{\dagger},bを

\displaystyle{ b^{\dagger}=a^{\dagger}-\frac{F_0}{\sqrt{2m\hbar\omega^3}},\quad b=a-\frac{F_0}{\sqrt{2m\hbar\omega^3}} }

で定義する。すると、 H_1は

\displaystyle{ H_1=\hbar\omega\left(b^{\dagger}b-\frac{F_0^2}{2m\hbar\omega^3}+\frac{1}{2}\right) }

と表されるため、直前のパラグラフでの議論と同様に、 b|0\rangle_1=0を満たす状態 |0\rangle_1と状態

\displaystyle{ |n\rangle_1=\frac{1}{\sqrt{n!}}(b^{\dagger})^n|0\rangle_1,\quad(n=1,2,\ldots) }

を定義できる。すると、状態 |n\rangle_1は、固有値 E^{1}_n\equiv E^{0}_n-F_0^{2}/2m\omega^{2}を持つ、すなわち

\displaystyle{ H_1|n\rangle_1=E^1_n|n\rangle_1,\quad(n=0,1,2,\ldots) \tag{9} }

を満たす H_1の固有状態であることが分かる。

Schrödinger方程式の解

　さて、時刻 t\geq 0におけるSchrödinger方程式の形式的な解は

\displaystyle{ |\Psi(t)\rangle = \exp\left(-i\frac{H_1t}{\hbar}\right)|0\rangle_0 \tag{10} }

で与えられる。この解をより具体的なものにするため、 H_0の基底状態 |0\rangle_0を H_1の固有状態で展開してみよう。つまり、ある複素係数 c_nを用いて

\displaystyle{ |0\rangle_0 = \sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle_1 \tag{11} }

と書き表してみる。ただし、係数 c_nは規格化条件 \sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2=1を満たしていなければならない。また、一般に系の状態には複素位相の不定性があるため、 c_0は実数であるとしておく。係数 c_nを決定するため、(11)の両辺に a=b+F_0/\sqrt{2m\hbar\omega^{3}}を掛けると、

\displaystyle{ \begin{aligned} 0=a|0\rangle_0 &= \left(b+\frac{F_0}{\sqrt{2m\hbar\omega^3}}\right)\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle_1 \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sqrt{n+1}c_{n+1}+\frac{F_0}{\sqrt{2m\hbar\omega^3}}c_n\right)|n\rangle_1 \end{aligned} }

を得る。ただし、最後の等式では、条件(8)の2行目において aを b、および |n\rangle_0を |n\rangle_1にそれぞれ置き換えたものを用いた。よって、 c_nに関する規格化条件と c_0が実数であることを用いると、係数 c_nが

\displaystyle{ c_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(-\frac{F_0}{\sqrt{2m\hbar\omega^3}}\right)^n\exp\left(-\frac{F_0^2}{4m\hbar\omega^3}\right) \tag{12} }

と決定できる。この c_nを用いれば、(9)、(10)、および(11)より、時刻 t\geq 0における状態 |\Psi(t)\rangleは

\displaystyle{ |\Psi(t)\rangle = \sum_{n=0}^{\infty}c_n\exp\left(-i\frac{E^1_nt}{\hbar}\right)|n\rangle_1 \tag{13} }

のように書ける。

遷移確率の計算

　さて、われわれは古典力学では質点が時刻 t=2\pi n/\omegaにおいて周期的に原点に戻ってくることを既に知っている。そこで、類似の現象が量子力学でも起きているかどうかを確かめるため、時刻 t>0において系の状態を観測したときに系が H_0の基底状態 |0\rangle_0にある確率 P(t)を計算してみよう。時刻 tに系が基底状態 |0\rangle_0に遷移する確率振幅は、(11)、(12)、および(13)を用いると、

\displaystyle{ \begin{aligned} _0\langle 0|\Psi(t)\rangle &= \left(\sum_{m=0}^{\infty}{}_1\langle m|c_m\right)\sum_{n=0}^{\infty}c_n\exp\left(-i\frac{E^1_nt}{\hbar}\right)|n\rangle_1 \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}c_n^2\exp\left(-i\frac{E^1_nt}{\hbar}\right) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{F_0^2}{2m\hbar\omega^3}\right)^n \\ & \quad\times\exp\left(-\frac{F_0^2}{2m\hbar\omega^3}\right)\exp\left[-i\left(n+\frac{1}{2}-\frac{F_0^2}{2m\hbar\omega^3}\right)\omega t\right] \\ &= \exp\left[-\frac{F_0^2}{2m\hbar\omega^3}(1-e^{-i\omega t}-i\omega t)-\frac{i}{2}\omega t\right] \end{aligned} \tag{14} }

と計算される。したがって、確率 P(t)は

\displaystyle{ \begin{aligned} P(t) &= |_0\langle 0|\Psi(t)\rangle|^2 \\ &= \exp\left[-\frac{F_0^2}{m\hbar\omega^3}(1-\cos\omega t)\right] \end{aligned} }

で与えられる。確率 P(t)の値は、 nを正の整数として時刻 t=2\pi n/\omegaにおいてのみ1となる。この現象は、古典的調和振動子の周期性と整合的な結果である。

まとめ

　調和振動子に一定の外力を加えた系を考え、この系を古典力学と量子力学という2つの枠組みで考察した。いずれの枠組みでも、調和振動子は外力を加える前の系における基底状態（古典力学の場合、正確にはエネルギーが最小の配位）に同一の周期で戻ってくるという事象を確認した。

*1:「今個人的に考えている問題」とは具体的にどんな問題であるかは、本記事では伏せておきたい。笑

北海道はでっかいどう！

旅行

4年前に北海道に旅行に行った時の写真があるので、今回整理してみた。

北海道新幹線の終着駅、函館北斗駅に田んぼアートがあったのだが、これは「ずーしーほっきー」とかいう北斗市のゆるキャラ。ほっき貝をモデルにしているようだ。 f:id:crtaker:20200905234356j:plain

昭和新山の下からと上からの眺め。上からの眺めは、有珠山から撮ったもの。昭和新山は1944年に何もない平地だった場所から突然その姿を現した。現在昭和新山は私有地にあり、噴火時にその活動の様子を記録したことで有名な三松正夫の親族の方が管理しているらしい。 f:id:crtaker:20200905234436j:plain f:id:crtaker:20200905234418j:plain

昭和新山の近くには「熊牧場」というのがあって、ヒグマが何10頭（？）も飼育されている。北海道ではヒグマは恐ろしい存在だが、ここのヒグマは観光客からエサが欲しい時にはこんなお茶目な姿を見せてくれる。 f:id:crtaker:20200905234453j:plain

2008年に洞爺湖サミットが行われたホテルの近くからの洞爺湖の眺め。 f:id:crtaker:20200905234505j:plain

函館のカニ。 f:id:crtaker:20200905234519j:plain

函館山からの夜景も撮りました！ f:id:crtaker:20200905234531j:plain

独占禁止法とハーフィンダール・ハーシュマン指数

経済 金融

はじめに

　近年、「金融機関が多過ぎる」「オーバーバンキング」等の声がよく聞かれる。あたかもこのような声に呼応したかのように、地方銀行を中心に経営統合や合併等の動きも出てきている。本記事執筆の直前には、菅内閣官房長官による「地方の銀行について、将来的には数が多すぎるのではないか」「再編も一つの選択肢になる」という発言もあった。

　さて、多くの読者はご存じのように、公正取引委員会（以下、公取委）は独占禁止法に基づき、株式取得や合併等を含む企業結合が企業間の競争を制限するか否かについて審査を行う。この企業結合審査においては、「競争を制限するか否か」の客観的な判断基準の1つとして、ハーフィンダール・ハーシュマン指数（Herfindahl-Hirschman Index、以下、HHI）という数値が用いられている。企業結合審査は様々な要素が検討される複雑なプロセスであるが、本ブログの目的の1つは社会で使われている数学を紹介することであるため *1、本記事では実際の企業結合の具体例を交えつつHHIの定義とその使われ方に限定して説明することとしたい。

独占禁止法に基づく企業結合審査の「超」概要

　独占禁止法に基づいて企業結合審査を行う際に拠り所となるのが、公取委が策定した「企業結合審査に関する独占禁止法の運用指針」（以下、企業結合指針）である。本節では企業結合指針の概要について述べるが、詳細については参考文献[1]を参照されたい。企業結合指針では、最初に企業結合を行う会社（以下、当事会社）が企業結合審査の対象となるか否かの判断を行い、対象となると判断された場合には、当事会社が「セーフハーバー基準」に該当するか否かを判断する *2。例えば、水平型企業結合の審査におけるセーフハーバー基準は、以下の3つの条件から構成される（HHIの定義は次節で述べる）。

セーフハーバー基準（水平型企業結合の場合） 1. 企業結合後のHHIが1,500以下である場合
2. 企業結合後のHHIが1,500超2,500以下であって、かつ、HHIの増分が250以下である場合
3. 企業結合後のHHIが2,500を超え、かつ、HHIの増分が150以下である場合

セーフハーバー基準に該当する場合は、企業結合が直ちに競争を制限することにはならないと判断される。一方、セーフハーバー基準に該当しない場合は、競争者の状況や参入障壁の程度等を含む要素を総合的に勘案し、競争を制限することになるか否かを判断していくことになる。

ハーフィンダール・ハーシュマン指数とは

　HHIとは、いずれも経済学者であるHerfindahlとHirschmanにちなんで名づけられた指数である。名称は仰々しいが、その定義は簡潔であり四則演算で計算できるものである。いま、N社の企業があるとして、企業i(=1,2,\ldots,N)の市場シェアをパーセント表示したものがそれぞれx_i(0\lt x_i\leq 100)であるとする。このとき、HHIは以下の式で定義される。

\displaystyle{ \mathrm{HHI}=\sum_{i=1}^Nx_i^2 }

こうして定義されたHHIの取りうる値の範囲は0\lt\mathrm{HHI}\leq 10000であり、HHIが大きいほど企業群による寡占度は大きくなる。このことを数値例で見てみよう。

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図1と図2それぞれの外枠は1辺の長さが100の正方形であり、この外枠の中に1辺の長さが企業の市場シェアに等しい正方形が企業の数Nだけ対角線上に並んでいる。HHIは対角線上の正方形の面積の和に等しい。図1は企業10社の市場シェアが等しく10%である場合、図2は企業2社の市場シェアがそれぞれ70%および30%である場合である。図には示していないが、1企業が市場を独占している場合は明らかにHHI=10000である。寡占が進むほどHHIが大きくなっていく様子が視覚的に理解できるであろう。

具体例：ふくおかFGによる十八銀行の株式取得

　近年において金融機関の経営統合が公取委による審査の対象となった例の1つが、ふくおかフィナンシャルグループ（以下、FFG）による十八銀行の株式取得である。公取委は2016年6月に株式取得に関する計画の届出を受け、約2年に亘る審査ののち、最終的に2018年8月に排除措置命令を行わない旨の通知を行った。本件審査の詳細については参考文献[2]を参照されたい。審査においては、特に事業性貸出の分野が競争を制限することになるかどうかが焦点となった。以下の表は、審査当時の長崎県における中小企業向け貸出の市場シェアの状況である *3。

中小企業向け貸出の市場シェア
順位 金融機関名 市場シェア
1 FFGグループ 約40%
2 十八銀行 約35%
3 D 約10%
4 E 約5%
5 F 約5%
その他 約10%
合計 100%
統合後のHHI：約5,400
HHIの増分：約2,600
出所：参考文献[2]を基に筆者作成

上記のようなHHIの計算結果はセーフハーバー基準には該当しないため、公取委はさらに長崎県における競争者の状況を仔細に調査した結果、D、E、F等の競争事業者からの競争圧力は限定的であると判断した。また、公取委は隣接市場からの競争圧力は限定的であり、中小企業向け貸出市場への参入圧力も認められないとした。このままでは排除措置命令を行うことになってしまうのだが、公取委は最終的に、当事会社が申し出た合計1千億円弱相当の債権譲渡を含む複数の問題解消措置が講じられることを前提として、株式取得が競争を制限することにはならないと判断したのである。

参考文献

[1] 公正取引委員会、「企業結合審査に関する独占禁止法の運用指針」、2004年5月31日（2019年12月17日改定）

[2] 公正取引委員会、「株式会社ふくおかフィナンシャルグループによる株式会社十八銀行の株式取得に関する審査結果について」、2018年8月24日

*1:筆者は大学で数学を専攻したことはないため、ここでいう「数学」とは、大学教養レベル以下の数学を意味する。

*2:公取委が策定した企業結合指針では「セーフハーバー基準」という用語は用いられていないのだが、例えば同じ公取委による参考文献[2]では「セーフハーバー基準」という用語が用いられている。

*3:市場シェアの和が100%にならないのは、5%単位となるように切り上げたり切り下げたりした結果によるものではないかと考えられる。