crtaker’s blog

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バーゼル規制の内部格付手法の信用リスク・アセット計算式

金融

更新履歴

  • 2020/9/2: 相関係数 Rの根拠に関する参考文献を追加（thanks to はららんさん）、typo修正。

本記事のポイント

　前回記事では、与信ポートフォリオの信用リスク量の業界標準的な計算方法について説明した。本記事では、バーゼル規制の内部格付手法で指定されている信用リスク・アセットの計算式の意味について考えてみたい。本記事で注目するポイントは以下の3つである。

  • バーゼル規制の内部格付手法における信用リスク・アセットの計算式の意味
  • 信用リスク・アセットの計算式を導く際のある「重要な条件」とは…
  • 内部格付手法の設計において「重要な条件」が必要であった理由

内部格付手法と信用リスク・アセット

記号の定義

　本題に入る前に、記号を定義しておこう。本記事で使われるその他の記号については、前回記事を参照いただきたい。

  • \alpha_q(X)=\inf\{x|\mathrm{Pr}(X\leq x)\geq q\}: 確率変数 Xの(100q)パーセンタイル値。
  • L_N=\frac{1}{E}\sum_{i=1}^NE_iL_i\mathbf{1}_{Z_i\leq \Phi^{-1}(p_i)}（ただしE=\sum_{i=1}^NE_i）: 与信ポートフォリオ全体の損失率を表す確率変数。

信用リスク・アセットの計算式

　金融庁告示[1]によれば、内部格付手法の採用行はマチュリティ *1 が1の場合の事業法人等向けエクスポージャーiの信用リスク・アセットの額 \mathrm{RA}_iは以下の式で計算しなければならない *2。

\displaystyle{ \begin{aligned} \mathrm{RA}_i &= E_iL_i\left[\Phi\left(\frac{\Phi^{-1}(p_i)+\sqrt{R_i}\Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1-R_i}}\right)-p_i\right] \\ R_i &= 0.12\frac{1-e^{-50p_i}}{1-e^{-50}}+0.24\left(1-\frac{1-e^{-50p_i}}{1-e^{-50}}\right) \end{aligned} \tag{1} }

さて、式(1)で定義された信用リスク・アセットは、前回記事で説明した信用リスク量とはどのような関係にあるのだろうか。この関係を紐解くためには、与信ポートフォリオに対して次のような仮定を置く必要がある。

与信ポートフォリオに対する仮定
  • シングルファクターモデルである（N_F=1）。
  • EADは無限に分散している。つまり、任意の債務者のEADが与信ポートフォリオ全体のEADに占める割合は無視できるほどに小さい。

上記の仮定が成り立つ場合、近似的に

\displaystyle{ \sum_{i=1}^N\mathrm{RA}_i\simeq\mathrm{UL} \tag{2} }

が成り立つ。つまり、信用リスク・アセットは与信ポートフォリオ全体のULを各エクスポージャーに配分したものであるといえる。なお、式(1)において重要なのは、信用リスク・アセットの額が対応するエクスポージャーに関する情報のみで計算できるという点である。与信ポートフォリオに含まれるその他のエクスポージャーの情報は必要ないのである。これは非自明な結果であり、一般にはULを各エクスポージャーに配分すると、配分されたULは対応するエクスポージャーのみならず全てのエクスポージャーに関する情報の関数となってしまう。このように、あるエクスポージャーに配分されたULがその他のエクスポージャーに関する情報にも影響を受けるという性質を「ポートフォリオ依存性」と呼ぶ。しかるに、式(1)による計算式ではポートフォリオ依存性は成り立たず、\mathrm{RA}_iはエクスポージャーiに関する情報のみで計算できてしまう。このようにポートフォリオ依存性が成り立たないのは、「与信ポートフォリオに対する仮定」の賜物である。信用リスク・アセットの計算式にポートフォリオ依存性がないことは、ULという複雑な量を銀行が計算し易いように当局指定関数という形で規制に落とし込むうえで都合のよい条件であったと考えられる。

もう少し厳密な議論

　なお、上記の「与信ポートフォリオに対する仮定」はやや曖昧なステートメントであるため、ここではもう少し数学的に厳密な議論を行う。数学的厳密性にこだわりのない読者は読み飛ばしてもよい。「与信ポートフォリオに対する仮定」をもう少し厳密化すると、以下のようなステートメントとなる[2] *3。

与信ポートフォリオに対する仮定（改） (A1) 共通ファクター数は1である。つまり、 N_F=1である。
(A2) E_iは正数列であり、次の(a)および(b)を満たす。
(a) N\rightarrow\inftyのとき、 \sum_{i=1}^N E_i\rightarrow\infty
(b) ある正数 \zetaが存在して、 E_N/\sum_{i=1}^N E_i=O(N^{-(\zeta+1/2)})を満たす。

この「与信ポートフォリオに対する仮定（改）」が成立するとき、N\rightarrow\inftyに対して

\displaystyle{ |\alpha_q(L_N)-\mathrm{E}[L_N\mid X_1=-\Phi^{-1}(q)]|\rightarrow 0 \tag{3} }

を証明することができる[2]。式(3)は、仮定(A2)の下では「大数の法則」によって与信ポートフォリオの損失額はほぼ共通ファクターX_1のみで決まってしまうということを意味している。いま、

\displaystyle{ \begin{aligned} \mathrm{E}[L_N\mid X_1=-\Phi^{-1}(q)] &=\frac{1}{E}\sum_{i=1}^NE_iL_i\mathrm{E}\left[\mathbf{1}_{Z_i\leq \Phi^{-1}(p_i)}\mid X_1=-\Phi^{-1}(q)\right] \\ &= \frac{1}{E}\sum_{i=1}^NE_iL_i\Phi\left(\frac{\Phi^{-1}(p_i)+\alpha_{s(i)1}\Phi^{-1}(q)}{\sqrt{1-\alpha_{s(i)1}^2}}\right) \end{aligned} \tag{4} }

であるから、任意のエクスポージャーiに対して\alpha_{s(i)1}=\sqrt{R_i}であるとすれば、q=0.999のときに十分に大きなNに対して近似式

\displaystyle{ \begin{aligned} \mathrm{UL} &= \mathrm{VaR}-\mathrm{EL} \\ &= \alpha_q(L)-\mathrm{EL} \\ &= E\alpha_q(L_N)-\mathrm{EL} \\ &\simeq E_iL_i\left[\Phi\left(\frac{\Phi^{-1}(p_i)+\sqrt{R_i}\Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1-R_i}}\right)-p_i\right] \end{aligned} \tag{5} }

が得られる。この式(5)から式(2)が導かれる。(2020/9/2追記)なお、相関係数R_iを式(1)の2行目のようなPDの関数として表した根拠については参考文献[3]を参照されたい。

まとめ

　最後に、冒頭に記した本記事での注目ポイントに対する回答を以下にまとめておこう。

  • バーゼル規制の内部格付手法における信用リスク・アセットの計算式の意味
    • 信用リスク・アセットは、与信ポートフォリオ全体のULを各エクスポージャーに配分したものの近似式である。
  • 信用リスク・アセットの計算式を導く際のある「重要な条件」とは…
    • 共通ファクターが1つしかなく、与信ポートフォリオが無限分散しているという条件が必要である。
  • 内部格付手法の設計において「重要な条件」が必要であった理由
    • 各エクスポージャーの信用リスク・アセットがその他のエクスポージャーに関する情報に影響を受けることなく簡単な計算式で計算できる。

(2020/9/2削除)ところで、相関係数R_iを式(1)の2行目のようなPDの関数として表した根拠を記した文献を筆者は寡聞にして知らない。規制の策定に関わった金融当局者に聞かなければ分からないのであろうか？

参考文献

[1] 銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準（平成十八年金融庁告示第十九号）

[2] Gordy, Michael B., A Risk-Factor Model Foundation for Ratings-Based Bank Capital Rules (November 2002). Board of Governors of the Federal Reserve System Working Paper No. 2002-55, Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=361302 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.361302

[3] Basel Committee for Banking Supervision (2005), An Explanatory Note on the Basel II IRB Risk Weight Functions: https://www.bis.org/bcbs/irbriskweight.htm

*1:マチュリティの定義については、告示[1]の第百五十八条を参照のこと。

*2:実際には、式(1)の右辺には12.5という数値が掛かる。この12.5という数字は歴史的な理由によるものであるが、本稿の議論においては本質的ではないため省略する。

*3:実際にはいくつかの追加的な技術的条件が必要であるが、それらの追加的な条件については文献[2]を参照されたい。

与信ポートフォリオの信用VaRの計測について

金融

はじめに

　金融機関（本稿では主に銀行を想定しています）は企業や個人向けに貸出を行っています。貸出には、貸出した元本の全額が返済されなかったり、利息が支払われなかったりするリスクが伴いますが、このようなリスクを信用リスクといいます。この信用リスクによって被る損失を、銀行は予め貸倒引当金や自己資本によってカバーできるようにしておかなければなりません。では、信用リスクによって銀行に発生しうる損失は最大でどの程度なのか？多くの銀行ではモデルを使ってこの最大損失額を見積もっています。本稿では、信用リスクを定量的に計測するための数理モデルを解説します。

企業価値モデル

　ここでは、銀行が抱える信用リスクを定量化する手法としては業界標準となっている、CreditMetrics型の企業価値モデル *1 について説明します。最初に、用語や各種記号を定義していきます。

用語と記号の定義

  • 与信ポートフォリオ：銀行の貸出先*2の集合。
  • 債務者：与信ポートフォリオに含まれる企業や個人の総称。
  • デフォルト：債務者が元本や利息を約定通りに支払わないこと。
  • N：与信ポートフォリオに含まれる債務者の数。
  • p_i：PD（Probability of Default、デフォルト確率）。ある一定期間内（通常は１年であり、この期間を「リスクホライズン」という）債務者iがデフォルトする確率。
  • E_i：EAD（Exposure At Default、デフォルト時エクスポージャー）。債務者i=1,2,\ldots,Nがデフォルトしたときにおける与信残高。
  • L_i：LGD（Loss Given Default、デフォルト時損失率）。債務者i=1,2,\ldots,Nがデフォルトしたときの損失額を与信残高で除したもの。LGDは確率変数とすることも多いが、本稿では定数であるとする。
  • s(i)：与信ポートフォリオを複数の適当なセグメントに分割した場合に、債務者iが属するセグメント。セグメンテーションの切り口としては、債務者の所在地域、業種、および規模等が考えられる。

債務者の信用力のモデル化

　以上の用語と記号の準備を基にして、まずは「企業価値」Z_i(i=1,2,\ldots,N)を以下の式で定義します。

\begin{aligned} Z_i &= \sum_{f=1}^{N_F}\alpha_{s(i)f}X_f+\beta_i\varepsilon_i, \\ \beta_i &= \sqrt{1-\sum_{f=1}^{N_F}\alpha_{s(i)f}^2} \end{aligned}
ただし、X_fと\varepsilon_iはいずれも標準正規分布に従う確率変数であり、異なるfとiに対してすべて互いに独立です。以下では、X_fおよび\varepsilon_iをそれぞれ「共通ファクター」および「固有ファクター」と呼びます。N_Fは共通ファクターの数です。また、 N_Sをセグメント数とするとき、\alpha_{sf}はN_S\times N_F個の定数であり、「ファクター・ローディング」等と呼ばれます。共通ファクターと固有ファクターの独立性と、企業価値の定義式においてX_fおよび\varepsilon_iに掛かる係数の形から、Z_iも標準正規分布に従うことが容易に確かめられます。なお、任意の異なる2件の債務者iおよびj(\neq i)に対して、一般にZ_iとZ_jは互いに独立ではありません。それは、企業価値の定義式に共通ファクターが含まれているためです。実際、Z_iとZ_jの共分散は、\mathrm{cov}(X_f,X_{f'})=\delta_{ff'}を用いれば
\mathrm{cov}(Z_i,Z_j)=\sum_{f=1}^{N_F}\alpha_{s(i)f}\alpha_{s(j)f}
で与えられます。

　企業価値モデルでは、企業価値Z_iは債務者iの信用力を表していると仮定します。具体的には、Z_iの値が大きいほど債務者iの信用力は高く、Z_iの値が小さいほど債務者iの信用力は低いものとします。さらに、Z_iがある閾値T_iを上回って（下回って）いれば、債務者iは非デフォルト（デフォルト）状態であるとみなします。なお、上で債務者iのPDはp_iであるとしたため、閾値T_iとパラメータp_iは

\mathrm{Pr}(Z_i\leq T_i)=\Phi(T_i)=p_i
なる関係を満たさなければなりません。ここで、\Phi(\cdot)は標準正規分布の累積分布関数です。したがって、閾値はPDによってT_i=\Phi^{-1}(p_i)と表されます。

損失額と信用リスク量

　リスクホライズンまでに与信ポートフォリオに発生しうる損失額Lは以下の式で与えられます。

L=\sum_{i=1}^NE_iL_i\mathbf{1}_{Z_i\leq T_i}
ただし、任意の命題Aに対して、\mathrm{1}_Aは、Aが真（偽）のとき1(0)という値をとる指示関数です。この定義式を見れば、債務者iがデフォルトしたときに限り、当該債務者からEAD×LGDという損失額が発生することが読み取れます。損失額Lが従う確率分布は共通ファクターと固有ファクターの確率分布、および各種パラメータp_i,E_i,L_i,\alpha_{sf}によって規定されるため、以下で定義するような様々な信用リスク量を計算することが原理的に可能になります。
  • EL（Expected Loss、期待損失）：損失額Lの期待値。具体的には、\mathrm{EL}=E[L]と定義される。
  • 信用VaR（Credit Value at Risk）：ある信頼率\alphaの下で、損失額Lが取りうる最大値。より具体的には、\mathrm{VaR}=\inf\{l|\mathrm{Pr}(L\geq l)\leq 1-\alpha\}と定義される。
  • UL（Unexpected Loss、非期待損失）：ある信頼率\alphaの下で、損失額LがELを超えて取りうる最大値。UL=VaR-ELと定義される。

共通ファクターと固有ファクターの意味合い

　最後に、共通ファクターと固有ファクターの意味について説明しておきましょう。一般に、ある債務者の信用力に影響する要因は、マクロ経済環境のように複数の債務者に共通する要因と、当該債務者の経営方針（債務者が企業である場合）のように当該債務者に固有の要因とに分類することができます。この２つの要因を共通要因X_fと固有要因\varepsilon_iという２種類の確率変数でモデル化するわけです。共通要因X_fは、その名が示すようにすべての債務者の企業価値Z_iに含まれます。したがって、ある共通要因X_fが変動すれば、すべての債務者の企業価値Z_iもまた同時に変動します。これが複数の企業価値の間の依存関係をもたらすことになります。一方、ある債務者iの固有要因\varepsilon_iは、当該債務者の企業価値にしか含まれないため、\varepsilon_iの変動は対応する債務者の企業価値Z_iの変動しかもたらしません。このように、共通ファクターと固有ファクターによって、与信ポートフォリオに含まれる債務者の企業価値、すなわち信用力の間の依存関係を適切にモデル化することができるようになります。

サンプルポートフォリオによるシミュレーション

　ここでは簡単な与信ポートフォリオのサンプルを用いて、実際に信用VaRを計算してみましょう。サンプルポートフォリオは以下のように指定します。

  • 債務者数N=100。
  • すべての債務者iに対してp_i=0.02。
  • すべての債務者iに対してE_i=100。
  • すべての債務者iに対してL_i=1。
  • 共通ファクター数はN_F=1、セグメント数はN_S=1であり、ファクター・ローディングは\alpha_{11}=0.5。
  • 信頼率\alpha=99\%。

すべての債務者が同一の性質を持つ非現実的な与信ポートフォリオではありますが、数値例を示すという目的に鑑みれば十分でしょう。この与信ポートフォリオに対して、シナリオ数を10000としたモンテカルロ・シミュレーションを実行すると、損失額の分布は以下のヒストグラムの通りになります。

f:id:crtaker:20200822222406p:plain

このシミュレーション結果から信用リスク量を計算すると、\mathrm{EL}=203,\mathrm{VaR}=1600という結果が得られます。つまり、この与信ポートフォリオに伴う損失額は99%の確率で1600以下に収まることになります。

おわりに

　本稿では、多くの銀行で活用されている企業価値モデルを説明し、与信ポートフォリオの信用リスク量の数値例を示しました。なお、本稿ではあくまでモデルの基本的な部分を説明したに過ぎません。銀行によっては、本稿で説明したモデルを様々な方向に一般化したモデルを活用していると考えられます。以下はそのような一般化の例です。

  • LGDを確率変数とするもの。
  • 密接な資本関係や取引関係を持つ企業グループ内における連鎖倒産を考慮するもの。
  • 企業の状態を「デフォルト/非デフォルト」に2値分類するのではなく、債務者の格付に応じた債権の評価損益を考慮して与信ポートフォリオ全体の評価損益を定量化するもの。貸出金と比較して相対的に市場性の高い債券を中心とした与信ポートフォリオの場合に適用されることがある。

また、本稿ではパラメータp_i,E_i,L_i,\alpha_{sf}を所与としましたが、信用リスク量の信頼性を確保するためには、これらのパラメータをどのように推定するのかも重要な要素となります。また機会があれば、これらのパラメータの推定方法の詳細にも触れたいと思います。

参考文献

日本銀行金融機構局金融高度化センター「内部格付制度と信用リスク計量化」(2015)

*1:Mertonモデルと呼んだり、後述する共通ファクターの数に応じて、シングルファクターMertonモデルまたはマルチファクターMertonモデルなどと呼んだりすることもあります。

*2:必ずしも貸出金に限定する必要はなく、コールローンや社債等、貸出金以外の信用リスクを持つ資産を含めても問題ありません。