与信ポートフォリオの信用VaRの計測について

はじめに

　金融機関（本稿では主に銀行を想定しています）は企業や個人向けに貸出を行っています。貸出には、貸出した元本の全額が返済されなかったり、利息が支払われなかったりするリスクが伴いますが、このようなリスクを信用リスクといいます。この信用リスクによって被る損失を、銀行は予め貸倒引当金や自己資本によってカバーできるようにしておかなければなりません。では、信用リスクによって銀行に発生しうる損失は最大でどの程度なのか？多くの銀行ではモデルを使ってこの最大損失額を見積もっています。本稿では、信用リスクを定量的に計測するための数理モデルを解説します。

企業価値モデル

　ここでは、銀行が抱える信用リスクを定量化する手法としては業界標準となっている、CreditMetrics型の企業価値モデル *1 について説明します。最初に、用語や各種記号を定義していきます。

用語と記号の定義

• 与信ポートフォリオ：銀行の貸出先*2の集合。
• 債務者：与信ポートフォリオに含まれる企業や個人の総称。
• デフォルト：債務者が元本や利息を約定通りに支払わないこと。
• ：与信ポートフォリオに含まれる債務者の数。
• ：PD（Probability of Default、デフォルト確率）。ある一定期間内（通常は１年であり、この期間を「リスクホライズン」という）債務者がデフォルトする確率。
• ：EAD（Exposure At Default、デフォルト時エクスポージャー）。債務者がデフォルトしたときにおける与信残高。
• ：LGD（Loss Given Default、デフォルト時損失率）。債務者がデフォルトしたときの損失額を与信残高で除したもの。LGDは確率変数とすることも多いが、本稿では定数であるとする。
• ：与信ポートフォリオを複数の適当なセグメントに分割した場合に、債務者が属するセグメント。セグメンテーションの切り口としては、債務者の所在地域、業種、および規模等が考えられる。

債務者の信用力のモデル化

　以上の用語と記号の準備を基にして、まずは「企業価値」を以下の式で定義します。

ただし、とはいずれも標準正規分布に従う確率変数であり、異なるとに対してすべて互いに独立です。以下では、およびをそれぞれ「共通ファクター」および「固有ファクター」と呼びます。は共通ファクターの数です。また、をセグメント数とするとき、は個の定数であり、「ファクター・ローディング」等と呼ばれます。共通ファクターと固有ファクターの独立性と、企業価値の定義式においておよびに掛かる係数の形から、も標準正規分布に従うことが容易に確かめられます。なお、任意の異なる2件の債務者およびに対して、一般にとは互いに独立ではありません。それは、企業価値の定義式に共通ファクターが含まれているためです。実際、との共分散は、を用いれば

で与えられます。

　企業価値モデルでは、企業価値は債務者の信用力を表していると仮定します。具体的には、の値が大きいほど債務者の信用力は高く、の値が小さいほど債務者の信用力は低いものとします。さらに、がある閾値を上回って（下回って）いれば、債務者は非デフォルト（デフォルト）状態であるとみなします。なお、上で債務者のPDはであるとしたため、閾値とパラメータは

なる関係を満たさなければなりません。ここで、は標準正規分布の累積分布関数です。したがって、閾値はPDによってと表されます。

損失額と信用リスク量

　リスクホライズンまでに与信ポートフォリオに発生しうる損失額は以下の式で与えられます。

ただし、任意の命題に対して、は、が真（偽）のとき1(0)という値をとる指示関数です。この定義式を見れば、債務者がデフォルトしたときに限り、当該債務者からEAD×LGDという損失額が発生することが読み取れます。損失額が従う確率分布は共通ファクターと固有ファクターの確率分布、および各種パラメータによって規定されるため、以下で定義するような様々な信用リスク量を計算することが原理的に可能になります。

• EL（Expected Loss、期待損失）：損失額の期待値。具体的には、]と定義される。
• 信用VaR（Credit Value at Risk）：ある信頼率の下で、損失額が取りうる最大値。より具体的には、と定義される。
• UL（Unexpected Loss、非期待損失）：ある信頼率の下で、損失額がELを超えて取りうる最大値。UL=VaR-ELと定義される。

共通ファクターと固有ファクターの意味合い

　最後に、共通ファクターと固有ファクターの意味について説明しておきましょう。一般に、ある債務者の信用力に影響する要因は、マクロ経済環境のように複数の債務者に共通する要因と、当該債務者の経営方針（債務者が企業である場合）のように当該債務者に固有の要因とに分類することができます。この２つの要因を共通要因と固有要因という２種類の確率変数でモデル化するわけです。共通要因は、その名が示すようにすべての債務者の企業価値に含まれます。したがって、ある共通要因が変動すれば、すべての債務者の企業価値もまた同時に変動します。これが複数の企業価値の間の依存関係をもたらすことになります。一方、ある債務者の固有要因は、当該債務者の企業価値にしか含まれないため、の変動は対応する債務者の企業価値の変動しかもたらしません。このように、共通ファクターと固有ファクターによって、与信ポートフォリオに含まれる債務者の企業価値、すなわち信用力の間の依存関係を適切にモデル化することができるようになります。

サンプルポートフォリオによるシミュレーション

　ここでは簡単な与信ポートフォリオのサンプルを用いて、実際に信用VaRを計算してみましょう。サンプルポートフォリオは以下のように指定します。

• 債務者数。
• すべての債務者に対して。
• すべての債務者に対して。
• すべての債務者に対して。
• 共通ファクター数は、セグメント数はであり、ファクター・ローディングは。
• 信頼率。

すべての債務者が同一の性質を持つ非現実的な与信ポートフォリオではありますが、数値例を示すという目的に鑑みれば十分でしょう。この与信ポートフォリオに対して、シナリオ数を10000としたモンテカルロ・シミュレーションを実行すると、損失額の分布は以下のヒストグラムの通りになります。

このシミュレーション結果から信用リスク量を計算すると、という結果が得られます。つまり、この与信ポートフォリオに伴う損失額は99%の確率で1600以下に収まることになります。

おわりに

　本稿では、多くの銀行で活用されている企業価値モデルを説明し、与信ポートフォリオの信用リスク量の数値例を示しました。なお、本稿ではあくまでモデルの基本的な部分を説明したに過ぎません。銀行によっては、本稿で説明したモデルを様々な方向に一般化したモデルを活用していると考えられます。以下はそのような一般化の例です。

• LGDを確率変数とするもの。
• 密接な資本関係や取引関係を持つ企業グループ内における連鎖倒産を考慮するもの。
• 企業の状態を「デフォルト/非デフォルト」に2値分類するのではなく、債務者の格付に応じた債権の評価損益を考慮して与信ポートフォリオ全体の評価損益を定量化するもの。貸出金と比較して相対的に市場性の高い債券を中心とした与信ポートフォリオの場合に適用されることがある。

また、本稿ではパラメータを所与としましたが、信用リスク量の信頼性を確保するためには、これらのパラメータをどのように推定するのかも重要な要素となります。また機会があれば、これらのパラメータの推定方法の詳細にも触れたいと思います。

参考文献

日本銀行金融機構局金融高度化センター「内部格付制度と信用リスク計量化」(2015)

*1:Mertonモデルと呼んだり、後述する共通ファクターの数に応じて、シングルファクターMertonモデルまたはマルチファクターMertonモデルなどと呼んだりすることもあります。

*2:必ずしも貸出金に限定する必要はなく、コールローンや社債等、貸出金以外の信用リスクを持つ資産を含めても問題ありません。